Statistika

A. Penyajian Data

1. Pengertian Data dan Statistika

Statistika telah digunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Statistika awalnya digunakan untuk menghitung jumlah penduduk untuk tujuan pemungutan pajak di beberapa bangsa di dunia seperti Babilonia Kuno, Mesir Kuno, dan Cina Kuno. 

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan, perhitungan atau pengolahan data, dan penyajian data untuk menarik kesimpulan berdasarkan data yang telah diperoleh sebelumnya.

Datum adalah fakta tunggal. Data adalah kumpulan datum. Data juga dapat diartikan sebagai keterangan atau bahan yang benar dan nyata yang dapat dijadikan dasar untuk membuat analisa atau kesimpulan. 

Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:

a. Statistika deskriptif

Statistika deskriptif adalah fase statistika yang meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.

b. Statistika induktif atau inferensi

Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh kesimpulan terhadap populasi secara umum.

2. Pengumpulan Data

Pengumpulan data dapat diperoleh dengan beberapa cara berikut.

- Wawancara

- Melakukan sensus

- Melakukan survey

- Melalui polling atau menyebarkan kuesioner/angket

- Dengan pengamatan/observasi

- Melakukan penelitian

Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri
Ada tiga perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku yaitu sinus disingkat sin, cosinus disingkat cos dan tangens disingkat tan. 

Hipotenusa disebut juga dengan sisi miring. Sisi miring selalu berada di depan sudut siku-siku. 

Terdapat 3 perbandingan lain yang merupakan kebalikan dari tiga perbandingan di atas yaitu cosecan disingkat cosec, secan disingkat sec dan cotangent disingkat cotan.

B. Sudut dan Pengukurannya

Terdapat dua ukuran sudut yaitu derajat (°) dan radian (rad). 

1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpusat di O dan panjang busur di depannya sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Satu putaran penuh pada lingkaran sama dengan 360°. 

Contoh 1:

C. Nilai-Nilai dari Sudut Istimewa

Nilai-nilai fungsi trigonometri dari sudut-sudut istimewa disajikan dalam tabel berikut:

D. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Berbagai Kuadran

Dimensi Tiga

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

a. Titik, Garis, dan Bidang

Titik dinyatakan dengan sebuah noktah kecil dan diberi nama dengan satu huruf kapital seperti A, B, C dan lain-lain. Kumpulan titik-titik yang teratur akan membentuk garis. Garis digambarkan melalui segmen garis saja karena terbatasnya ruang gambar. Garis biasanya diberi nama dengan satu huruf kecil misalnya garis  l, m, atau n. Garis juga bisa dinamakan dengan dua huruf besar yang menunjukkan pangkal dan ujung dari segmen garis seperti AB.

Bidang mempunyai dua dimensi yaitu panjang dan lebar. Terdapat dua macam bidang yaitu bidang datar dan bidang lengkung. Bidang yang akan dibahas disini adalah bidang datar. Bidang biasanya diberi nama dengan huruf kecil dari abjad Yunani seperti α, β, γ, atau δ.

b. Kedudukan Titik terhadap Garis

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis yaitu titik yang terletak pada garis atau titik yang terletak di luar garis.

1. Titik A dikatakan terletak pada garis l jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar garis l jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

sumber: partnermatematika.com 

c. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang yaitu titik yang terletak pada bidang atau titik yang terletak di luar bidang.

1. Titik A dikatakan terletak pada bidang α jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar bidang α jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

sumber: partnermatematika.com

d. Kedudukan Garis terhadap Garis

Terdapat empat kemungkinan kedudukan antara dua garis di dalam ruang yaitu:

1. Dua garis sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan titik memiliki titik potong atau titik persekutuan.

2. Dua garis berimpit, jika kedua garis tersebut mempunyai paling sedikit dua titik persekutuan.

3. Dua garis berpotongan, jika kedua garis itu mempunyai satu titik potong.

4. Dua garis bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada satu bidang dan kedua garis tidak sejajar ataupun berpotongan.

Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkarannya

Pernyataan atau proposisi adalah suatu kalimat yang hanya bisa bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Kalimat perintah, kalimat Tanya dan kalimat harapan bukan merupakan suatu pernyataan. Umumnya, untuk menyatakan suatu pernyataan digunakan huruf kecil seperti  dan lain-lain.

Contoh 1:

- p : Suatu segitiga memiliki tiga titik sudut (pernyataan bernilai benar)

- q: Makassar adalah ibukota provinsi Sulawesi Utara (pernyataan bernilai salah)

- Semoga nanti saya lulus ujian nasional (bukan pernyataan)

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat ini memuat variabel atau peubah.

Contoh 2:

- x + 5 = 7

Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. Jika  x = 2 maka kalimat tersebut akan menjadi pernyataan bernilai benar. Adapun jika  x diganti dengan 1 maka akan menjadi pernyataan bernilai salah.

- Jarak antara Bali dan Kota X adalah 50 km.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran disebut juga penyangkalan. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” di awal kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan tersebut.

Contoh 3:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Pengertian Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan tersebut  dengan nol pada garis bilangan real. Nilai mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu bernilai positif dan mungkin saja bernilai nol. 

Untuk menunjukkan nilai mutlak dapat digunakan suatu garis bilangan.

Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

Contoh 1:

Tanda panah pada garis bilangan digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana:

- arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif

- arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif

Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

Contoh 6:

Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pengertian SPLDV

Persamaan linear dengan dua variabel adalah suatu persamaan yang mengandung dua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel tersebut. Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) paling sedikit terdiri atas dua persamaan.

2. Menentukan Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaian SPLDV, diantaranya:

a. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, gambarkanlah kedua PL dalam bidang koordinat Cartesius. Kemudian, tentukanlah titik potong kedua garis tersebut. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus.

b. Metode Substitusi

c. Metode Eliminasi

Untuk menyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi, hilangkanlah salah satu variabel agar diperoleh PL dengan satu variabel. Misalkan eliminasi. 

Untuk menghilangkan (eliminasi) variabel , samakan koefisien  dari kedua pasangan. Kemudian, operasikan kedua persamaan tersebut (jumlahkan atau kurangkan).

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)

Persamaan kuadrat (PK) atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat                                                           

Terdapat tiga cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat.

1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Agar lebih jelas, simaklah contoh-contoh berikut ini.

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

A. Bentuk Pangkat 

1. Pengertian Bentuk Pangkat 

 

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat 

 

Contoh 1: 

3. Pangkat Bulat Negatif, Nol dan Rasional