Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkarannya

Pernyataan atau proposisi adalah suatu kalimat yang hanya bisa bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Kalimat perintah, kalimat Tanya dan kalimat harapan bukan merupakan suatu pernyataan. Umumnya, untuk menyatakan suatu pernyataan digunakan huruf kecil seperti  dan lain-lain.

Contoh 1:

- p : Suatu segitiga memiliki tiga titik sudut (pernyataan bernilai benar)

- q: Makassar adalah ibukota provinsi Sulawesi Utara (pernyataan bernilai salah)

- Semoga nanti saya lulus ujian nasional (bukan pernyataan)

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat ini memuat variabel atau peubah.

Contoh 2:

- x + 5 = 7

Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. Jika  x = 2 maka kalimat tersebut akan menjadi pernyataan bernilai benar. Adapun jika  x diganti dengan 1 maka akan menjadi pernyataan bernilai salah.

- Jarak antara Bali dan Kota X adalah 50 km.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran disebut juga penyangkalan. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” di awal kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan tersebut.

Contoh 3:

B. Pernyataan Majemuk

Pernyataan atau kalimat majemuk adalah kalimat yang merupakan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Kata hubung yang digunakan yakni “dan”, “atau”, “jika…maka…”, dan “…jika dan hanya jika…”. 

1. Konjungsi

Contoh 4:

2. Disjungsi

Contoh 5:

Baca juga: Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

3. Implikasi

Contoh 6:

4. Biimplikasi

Contoh 7:

C. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pada tabel kebenaran majemuk, terdapat beberapa kombinasi nilai kebenaran. Pernyataan dengan semua nilai kebenarannya bernilai B disebut tautologi sedangkan pernyataan yang semua nilai kebenarannya bernilai S disebut kontradiksi. Suatu pernyataan yang bukan merupakan tautologi atau kontradiksi disebut kontingensi.

 

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

E. Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor terbagi dua, yakni:

1. Kuantor Eksistensial

Contoh 8:

2. Kuantor Universal

Contoh 9:

Baca juga: Persamaan dan Fungsi Kuadrat

F. Penarikan Kesimpulan

Dalam penarikan kesimpulan, dikenal beberapa istilah seperti premis, konklusi dan argumen. Premis adalah beberapa pernyataan yang menjadi asumsi dari penyimpulan. Konklusi adalah kesimpulan akhir dari suatu penarikan kesimpulan. Sedangkan argumen adalah penarikan kesimpulan dari serangkaian premis tersebut. Terdapat tiga cara dalam menarik kesimpulan yakni silogisme, modus ponens dan modus tollens.

G. Pembuktian dengan Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan tahapan pembuktian suatu rumus atau teori umum dari hipotesa tertentu.

Langkah-langkah:

1. Tunjukkan benar untuk n = 1 (ruas kiri = ruas kanan)

2. Untuk n = k benar, tunjukkan benar untuk  n = k + 1

Contoh 10: