Statistika

A. Penyajian Data

1. Pengertian Data dan Statistika

Statistika telah digunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Statistika awalnya digunakan untuk menghitung jumlah penduduk untuk tujuan pemungutan pajak di beberapa bangsa di dunia seperti Babilonia Kuno, Mesir Kuno, dan Cina Kuno. 

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan, perhitungan atau pengolahan data, dan penyajian data untuk menarik kesimpulan berdasarkan data yang telah diperoleh sebelumnya.

Datum adalah fakta tunggal. Data adalah kumpulan datum. Data juga dapat diartikan sebagai keterangan atau bahan yang benar dan nyata yang dapat dijadikan dasar untuk membuat analisa atau kesimpulan. 

Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:

a. Statistika deskriptif

Statistika deskriptif adalah fase statistika yang meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.

b. Statistika induktif atau inferensi

Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh kesimpulan terhadap populasi secara umum.

2. Pengumpulan Data

Pengumpulan data dapat diperoleh dengan beberapa cara berikut.

- Wawancara

- Melakukan sensus

- Melakukan survey

- Melalui polling atau menyebarkan kuesioner/angket

- Dengan pengamatan/observasi

- Melakukan penelitian

Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri
Ada tiga perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku yaitu sinus disingkat sin, cosinus disingkat cos dan tangens disingkat tan. 

Hipotenusa disebut juga dengan sisi miring. Sisi miring selalu berada di depan sudut siku-siku. 

Terdapat 3 perbandingan lain yang merupakan kebalikan dari tiga perbandingan di atas yaitu cosecan disingkat cosec, secan disingkat sec dan cotangent disingkat cotan.

B. Sudut dan Pengukurannya

Terdapat dua ukuran sudut yaitu derajat (°) dan radian (rad). 

1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpusat di O dan panjang busur di depannya sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Satu putaran penuh pada lingkaran sama dengan 360°. 

Contoh 1:

C. Nilai-Nilai dari Sudut Istimewa

Nilai-nilai fungsi trigonometri dari sudut-sudut istimewa disajikan dalam tabel berikut:

D. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Berbagai Kuadran

Dimensi Tiga

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

a. Titik, Garis, dan Bidang

Titik dinyatakan dengan sebuah noktah kecil dan diberi nama dengan satu huruf kapital seperti A, B, C dan lain-lain. Kumpulan titik-titik yang teratur akan membentuk garis. Garis digambarkan melalui segmen garis saja karena terbatasnya ruang gambar. Garis biasanya diberi nama dengan satu huruf kecil misalnya garis  l, m, atau n. Garis juga bisa dinamakan dengan dua huruf besar yang menunjukkan pangkal dan ujung dari segmen garis seperti AB.

Bidang mempunyai dua dimensi yaitu panjang dan lebar. Terdapat dua macam bidang yaitu bidang datar dan bidang lengkung. Bidang yang akan dibahas disini adalah bidang datar. Bidang biasanya diberi nama dengan huruf kecil dari abjad Yunani seperti α, β, γ, atau δ.

b. Kedudukan Titik terhadap Garis

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis yaitu titik yang terletak pada garis atau titik yang terletak di luar garis.

1. Titik A dikatakan terletak pada garis l jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar garis l jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

sumber: partnermatematika.com 

c. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang yaitu titik yang terletak pada bidang atau titik yang terletak di luar bidang.

1. Titik A dikatakan terletak pada bidang α jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar bidang α jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

sumber: partnermatematika.com

d. Kedudukan Garis terhadap Garis

Terdapat empat kemungkinan kedudukan antara dua garis di dalam ruang yaitu:

1. Dua garis sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan titik memiliki titik potong atau titik persekutuan.

2. Dua garis berimpit, jika kedua garis tersebut mempunyai paling sedikit dua titik persekutuan.

3. Dua garis berpotongan, jika kedua garis itu mempunyai satu titik potong.

4. Dua garis bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada satu bidang dan kedua garis tidak sejajar ataupun berpotongan.

Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkarannya

Pernyataan atau proposisi adalah suatu kalimat yang hanya bisa bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Kalimat perintah, kalimat Tanya dan kalimat harapan bukan merupakan suatu pernyataan. Umumnya, untuk menyatakan suatu pernyataan digunakan huruf kecil seperti  dan lain-lain.

Contoh 1:

- p : Suatu segitiga memiliki tiga titik sudut (pernyataan bernilai benar)

- q: Makassar adalah ibukota provinsi Sulawesi Utara (pernyataan bernilai salah)

- Semoga nanti saya lulus ujian nasional (bukan pernyataan)

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat ini memuat variabel atau peubah.

Contoh 2:

- x + 5 = 7

Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. Jika  x = 2 maka kalimat tersebut akan menjadi pernyataan bernilai benar. Adapun jika  x diganti dengan 1 maka akan menjadi pernyataan bernilai salah.

- Jarak antara Bali dan Kota X adalah 50 km.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran disebut juga penyangkalan. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” di awal kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan tersebut.

Contoh 3:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Pengertian Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan tersebut  dengan nol pada garis bilangan real. Nilai mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu bernilai positif dan mungkin saja bernilai nol. 

Untuk menunjukkan nilai mutlak dapat digunakan suatu garis bilangan.

Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

Contoh 1:

Tanda panah pada garis bilangan digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana:

- arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif

- arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif

Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

Contoh 6:

Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pengertian SPLDV

Persamaan linear dengan dua variabel adalah suatu persamaan yang mengandung dua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel tersebut. Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) paling sedikit terdiri atas dua persamaan.

2. Menentukan Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaian SPLDV, diantaranya:

a. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, gambarkanlah kedua PL dalam bidang koordinat Cartesius. Kemudian, tentukanlah titik potong kedua garis tersebut. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus.

b. Metode Substitusi

c. Metode Eliminasi

Untuk menyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi, hilangkanlah salah satu variabel agar diperoleh PL dengan satu variabel. Misalkan eliminasi. 

Untuk menghilangkan (eliminasi) variabel , samakan koefisien  dari kedua pasangan. Kemudian, operasikan kedua persamaan tersebut (jumlahkan atau kurangkan).

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)

Persamaan kuadrat (PK) atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat                                                           

Terdapat tiga cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat.

1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Agar lebih jelas, simaklah contoh-contoh berikut ini.

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

A. Bentuk Pangkat 

1. Pengertian Bentuk Pangkat 

 

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat 

 

Contoh 1: 

3. Pangkat Bulat Negatif, Nol dan Rasional 

Operator dan Fungsi Matematika pada MATLAB

MATLAB menyediakan operator matematika beserta fungsi-fungsi matematika yang dapat kita gunakan ketika menjalankan program. Berikut ini dirangkum operator matematika beserta fungsi matematika yang tersedia dalam MATLAB.

Tabel 1. Operator matematika pada MATLAB

Pemakaian operator matematika dalam MATLAB mengikuti konsep operasi matematika yang berlaku umum, yaitu: 

a. Operator penjumlahan dan pengurangan memiliki tingkat yang sama sehingga dikerjakan urut dari kiri ke kanan.

b. Operator perkalian dan pembagian memiliki tingkat yang sama.

c. Operator perkalian dan pembagian lebih tinggi tingkatannya daripada operator penjumlahan dan pengurangan.

d. Jika terdapat operasi hitung terhadap operator menggunakan tanda kurung, maka operasi tersebut dikerjakan terlebih dahulu.

Variabel Khusus pada MATLAB

Dalam MATLAB terdapat beberapa variabel khusus yang telah terdefinisi. Variabel-variabel tersebut dapat kita gunakan dengan cara mengetikkannya pada jendela perintah atau skrip M-File. 

Variabel-variabel khusus tersebut dirangkum dalam Tabel di bawah ini:

Perhatikanlah contoh eksekusi perintah pada MATLAB dengan menggunakan variabel-variabel khusus di atas.

Statistik Nonparametrik: Uji Mann-Whitney (U-Test)

Uji Mann-Mann sering disebut juga dengan pengujian U yang dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney pada tahun 1947. Pengujian U merupakan salah satu jenis uji non parametris yang digunakan untuk menguji mean atau rata-rata dari dua sampel yang berbeda ukurannya atau tidak berpasangan.

Beberapa asumsi yang berlaku dalam uji Mann-Whitney adalah:

1.  sampel yang berasal dari populasi bersifat acak/random,

2.  sampel bersifat independen (berdiri sendiri) atau saling bebas,

3. skala pengukuran datanya bertipe ordinal, interval atau ratio tetapi tidak berdistribusi normal

Prosedur pengujian:

1. Menentukan hipotesis

H₀: dua sampel independen memiliki rata-rata yang sama (μ₁= μ₂)

H₁: dua sampel independen memiliki rata-rata yang berbeda 

2. Menentukan taraf nyata (α) dan nilai U tabel

Taraf nyata yang sering digunakan adalah 1% atau 5%.

U_α(n1)(n2) = …

Pengujiannya dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi.

Nilai U tabel diperoleh menggunakan tabel berikut:

Operasi Matriks menggunakan MATLAB

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat yang terdiri atas baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut elemen matriks. Anggota yang disusun mendatar disebut baris dan yang ditulis menurun disebut lajur/kolom. Anggota-anggota tersebut disusun dalam tanda kurung biasa atau kurung siku. Suatu matriks memiliki ukuran tertentu yang disebut ordo matriks. Jika suatu matriks A memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n  maka ordo matriks A adalah

Bentuk umum matriks A dengan ordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut:

a mn merupakan elemen matriks A dimana m = 1,2,3,...,m dan n = 1,2,3, ..., n

a 23 menyatakan elemen matriks A yang berada pada baris kedua dan kolom ketiga.

Contoh:

Matriks B terdiri dari 2 baris dan 3 kolom sehingga ordo matriks B adalah 2x3 atau dapat ditulis B 2x3 . Banyaknya anggota matriks B dapat diperoleh dengan mengalikan banyaknya baris dengan banyaknya kolom. Sehingga, matriks B memiliki 6 anggota yaitu:

Untuk membuat matriks dalam MATLAB digunakan kurung siku ( [ ] ) dan ditulis baris per baris. Tanda koma (,) untuk memisahkan kolom dan titik-koma (;) untuk memisahkan baris. Pemisahan kolom dapat pula menggunakan spasi sementara untuk pemisahan baris bisa dengan menekan enter ke baris baru. Perhatikanlah contoh di bawah ini:

Menyatakan Himpunan dan Jenis-Jenis Himpunan

Menyatakan Suatu Himpunan
Nah, sekarang bagaimana cara menyatakan himpunan? Ada tiga cara yang bisa kamu gunakan untuk menyatakan himpunan, yaitu :

1. Dengan kata-kata
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh: B adalah himpunan bilangan genap antara 10 dan 20. Himpunan B ini ditulis B = {Bilangan genap antara 10 dan 20}

Pengertian Himpunan

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan baik dan jelas.

Contoh:

-Kumpulan hewan berkaki empat.

-Kumpulan nama-nama pulau di Indonesia yang diawali huruf S

Kedua contoh di atas merupakan suatu himpunan karena dapat ditentukan anggotanya dengan jelas. Kumpulan hewan berkaki empat antara lain kuda, sapi, kerbau dan lain-lain. Kumpulan hewan berkaki empat adalah suatu himpunan karena setiap disebut hewan berkaki empat maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut. 

Begitu pula dengan kumpulan nama-nama pulau di Indonesia yang diawali huruf S yang dapat ditentukan dengan jelas seperti Sulawesi dan Sumatera.

Contoh:

-Sekumpulan makanan enak

-Kumpulan lukisan yang indah

Kedua contoh di atas bukan merupakan suatu himpunan karena tidak dapat ditentukan anggotanya dengan jelas. Kumpulan makanan enak tidak dapat disebut himpunan karena makanan yang enak menurut seseorang belum tentu enak menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan makanan enak tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Begitu juga dengan kumpulan lukisan yang indah. 

Notasi dan Anggota Himpunan

Terdapat beberapa ketentuan dalam menuliskan notasi dan keanggotaan suatu himpunan, seperti berikut ini :

Algoritma Genetika (Genetic Algorithm) dengan menggunakan Matlab

Find global minima for highly nonlinear problems

A genetic algorithm (GA) is a method for solving both constrained and unconstrained optimization problems based on a natural selection process that mimics biological evolution. The algorithm repeatedly modifies a population of individual solutions. At each step, the genetic algorithm randomly selects individuals from the current population and uses them as parents to produce the children for the next generation. Over successive generations, the population "evolves" toward an optimal solution.

You can apply the genetic algorithm to solve problems that are not well suited for standard optimization algorithms, including problems in which the objective function is discontinuous, nondifferentiable, stochastic, or highly nonlinear.

The genetic algorithm differs from a classical, derivative-based, optimization algorithm in two main ways, as summarized in the following table.

Classical Algorithm	Genetic Algorithm
Generates a single point at each iteration. The sequence of points approaches an optimal solution.	Generates a population of points at each iteration. The best point in the population approaches an optimal solution.
Selects the next point in the sequence by a deterministic computation.	Selects the next population by computation which uses random number generators.

Reference: http://kr.mathworks.com/discovery/genetic-algorithm.html

For further article, please find here: Genetic Algorithm

Dasar-Dasar Pemrograman Basis Data

Bagi teman-teman yang ingin mengunduh file-file tentang sistem basis data, silahkan klik link berikut :

Seputar Basis Data

Analisis Portofolio 3 Saham

              Dalam arti luas investasi berarti mengorbankan rupiah sekarang untuk rupiah di masa depan. Karena berkaitan dengan masa depan, ada dua atribut yang melekat yaitu resiko dan waktu. Pengorbanan terjadi saat sekarang dan memiliki kepastian. Hasil baru akan diperoleh kemudian dan besarnya tidak pasti. Sharpe (1997) membedakan investasi dalam dua kategori, yaitu riil dan investigasi finansial. Investasi riil secara umum melibatkan asset nyata, seperti tanah, mesin-mesin, atau pabrik, sedangkan investasi finansial melibatkan kontrak-kontrak tertulis, seperti saham biasa dan obligasi. Investasi finansial banyak mendominasi di perekonomian modern yang menunjang berkembangnya investasi riil. Sektor riil sulit berkembang apabila sumber pendanaan yang disediakan sektor finansial kurang memadai.

            Menurut Frank J. Fabozzi (1999), pada dasarnya ada dua teori dasar yang sering dipergunakan untuk menopang manajemen investasi yaitu teori portofolio dan teori pasar modal. Teori portofolio berhubungan dengan pemilihan portofolio yang dapat memaksimalkan pengembalian investasi yang diharapkan sesuai dengan tingkat resiko yang dapat diterima. Melalui model kuantitatif dan data historis, teori ini mampu menghitung tingkat pengembalian portofolio yang diharapkan dan tingkat resiko portofolio yang dapat diterima serta menunjukkan cara pembentukkan portofolio optimal.

            Untuk mengunduh file lengkapnya silahkan klik link berikut :

Makalah Analisis Portofolio

Belajar Matematika – Tips dan Trik Belajar Matematika

Belajar Matematika Secara Praktis, Bisakah ?

Bagaimana cara praktis belajar matematika? Itulah pertanyaan yang sering muncul dalam pikiran kita ketika akan belajar matematika. Ya, itu merupakan sesuatu yang lazim. Setiap orang selalu mencari cara yang termudah, terpraktis dalam melakukan segala sesuatu. Termasuk bagaimana cara termudah memahami matematika

Pada dasarnya belajar matematika tidak jauh berbeda dengan belajar mata pelajaran yang lain seperti : Fisika, Akuntansi dan Kimia. Pada awalnya memang terasa sulit karena kita harus memahami sesuatu yang sama sekali baru dalam pikiran kita, namun dengan mempelajarinya setahap demi setahap secara konsisten dan sistematis maka kita akan semakin familiar dengan ilmu baru tersebut.

Dalam ilmu matematika terdapat konsep dasar yang harus diketahui oleh setiap orang yang ingin menguasai ilmu matematika. Semakin menguasai konsep dasar matematika maka akan semakin memudahkan kita dalam memahami pelajaran matematika pada tahap selanjutnya. Salah satu contoh konsep dasar dalam matematika adalah KABATAKU (kali – bagi – tambah – kurang).

Seseorang tidak akan mungkin menguasai matematika tingkat lanjut jika tidak menguasai konsep dasar diatas. Kabataku merupakan pelajaran matematika dasar dalam Sekolah Dasar (SD)

Lalu, bagaimana cara kita belajar matematika secara mudah dan praktis ? Di bawah ini saya mencoba untuk membagi beberapa tips supaya kita lebih mudah dalam memahami pelajaran matematika.

“Penerapan  Metode Tak Langsung Monte Carlo untuk Menghitung Integral Tertentu dengan Menggunakan Program R”

          Salah satu peran yang harus dijalankan oleh para statistisi (ahli statistika) adalah mempelajari berbagai prosedur pengambilan keputusan, mencari prediktor atau prosedur pengambilan keputusan terbaik untuk berbagai situasi. Lebih jauh lagi ahli statistika harus dapat memberikan informasi berkaitan dengan derajat kecocokan dari masing masing prosedur yang diberikan.

           

            Selanjutnya prosedur dan metode yang dihasilkan harus diuji validitasnya. Salah satu cara untuk menguji validitas suatu prosedur atau metode statistika adalah dengan mencobanya pada data yang parameternya diketahui (terkendali). Untuk itu perlu dikembangkan berbagai teknik yang bertujuan membangkitkan data dengan sifat-sifat atau parameter yang diinginkan. Misalnya kita ingin membangkitkan data univariate dengan rataan dan ragam tertentu, data multivariate dengan rataan, ragam dan korelasi tertentu. Teknik-teknik ini dipelajari dalam metode simulasi.