Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkarannya

Pernyataan atau proposisi adalah suatu kalimat yang hanya bisa bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Kalimat perintah, kalimat Tanya dan kalimat harapan bukan merupakan suatu pernyataan. Umumnya, untuk menyatakan suatu pernyataan digunakan huruf kecil seperti  dan lain-lain.

Contoh 1:

- p : Suatu segitiga memiliki tiga titik sudut (pernyataan bernilai benar)

- q: Makassar adalah ibukota provinsi Sulawesi Utara (pernyataan bernilai salah)

- Semoga nanti saya lulus ujian nasional (bukan pernyataan)

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat ini memuat variabel atau peubah.

Contoh 2:

- x + 5 = 7

Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. Jika  x = 2 maka kalimat tersebut akan menjadi pernyataan bernilai benar. Adapun jika  x diganti dengan 1 maka akan menjadi pernyataan bernilai salah.

- Jarak antara Bali dan Kota X adalah 50 km.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran disebut juga penyangkalan. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” di awal kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan tersebut.

Contoh 3:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Pengertian Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan tersebut  dengan nol pada garis bilangan real. Nilai mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu bernilai positif dan mungkin saja bernilai nol. 

Untuk menunjukkan nilai mutlak dapat digunakan suatu garis bilangan.

Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

Contoh 1:

Tanda panah pada garis bilangan digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana:

- arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif

- arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif

Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

Contoh 6:

Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pengertian SPLDV

Persamaan linear dengan dua variabel adalah suatu persamaan yang mengandung dua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel tersebut. Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) paling sedikit terdiri atas dua persamaan.

2. Menentukan Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaian SPLDV, diantaranya:

a. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, gambarkanlah kedua PL dalam bidang koordinat Cartesius. Kemudian, tentukanlah titik potong kedua garis tersebut. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus.

b. Metode Substitusi

c. Metode Eliminasi

Untuk menyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi, hilangkanlah salah satu variabel agar diperoleh PL dengan satu variabel. Misalkan eliminasi. 

Untuk menghilangkan (eliminasi) variabel , samakan koefisien  dari kedua pasangan. Kemudian, operasikan kedua persamaan tersebut (jumlahkan atau kurangkan).

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)

Persamaan kuadrat (PK) atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat                                                           

Terdapat tiga cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat.

1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Agar lebih jelas, simaklah contoh-contoh berikut ini.

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

A. Bentuk Pangkat 

1. Pengertian Bentuk Pangkat 

 

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat 

 

Contoh 1: 

3. Pangkat Bulat Negatif, Nol dan Rasional