Statistika

A. Penyajian Data

1. Pengertian Data dan Statistika

Statistika telah digunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Statistika awalnya digunakan untuk menghitung jumlah penduduk untuk tujuan pemungutan pajak di beberapa bangsa di dunia seperti Babilonia Kuno, Mesir Kuno, dan Cina Kuno. 

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan, perhitungan atau pengolahan data, dan penyajian data untuk menarik kesimpulan berdasarkan data yang telah diperoleh sebelumnya.

Datum adalah fakta tunggal. Data adalah kumpulan datum. Data juga dapat diartikan sebagai keterangan atau bahan yang benar dan nyata yang dapat dijadikan dasar untuk membuat analisa atau kesimpulan. 

Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase, yaitu:

a. Statistika deskriptif

Statistika deskriptif adalah fase statistika yang meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data, menyusun, dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik, serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.

b. Statistika induktif atau inferensi

Statistika induktif atau inferensi, yaitu fase statistika lebih lanjut di mana data yang diperoleh dianalisis agar diperoleh kesimpulan terhadap populasi secara umum.

2. Pengumpulan Data

Pengumpulan data dapat diperoleh dengan beberapa cara berikut.

- Wawancara

- Melakukan sensus

- Melakukan survey

- Melalui polling atau menyebarkan kuesioner/angket

- Dengan pengamatan/observasi

- Melakukan penelitian

Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri
Ada tiga perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku yaitu sinus disingkat sin, cosinus disingkat cos dan tangens disingkat tan. 

Hipotenusa disebut juga dengan sisi miring. Sisi miring selalu berada di depan sudut siku-siku. 

Terdapat 3 perbandingan lain yang merupakan kebalikan dari tiga perbandingan di atas yaitu cosecan disingkat cosec, secan disingkat sec dan cotangent disingkat cotan.

B. Sudut dan Pengukurannya

Terdapat dua ukuran sudut yaitu derajat (°) dan radian (rad). 

1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpusat di O dan panjang busur di depannya sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Satu putaran penuh pada lingkaran sama dengan 360°. 

Contoh 1:

C. Nilai-Nilai dari Sudut Istimewa

Nilai-nilai fungsi trigonometri dari sudut-sudut istimewa disajikan dalam tabel berikut:

D. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Berbagai Kuadran

Dimensi Tiga

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada Bangun Ruang

a. Titik, Garis, dan Bidang

Titik dinyatakan dengan sebuah noktah kecil dan diberi nama dengan satu huruf kapital seperti A, B, C dan lain-lain. Kumpulan titik-titik yang teratur akan membentuk garis. Garis digambarkan melalui segmen garis saja karena terbatasnya ruang gambar. Garis biasanya diberi nama dengan satu huruf kecil misalnya garis  l, m, atau n. Garis juga bisa dinamakan dengan dua huruf besar yang menunjukkan pangkal dan ujung dari segmen garis seperti AB.

Bidang mempunyai dua dimensi yaitu panjang dan lebar. Terdapat dua macam bidang yaitu bidang datar dan bidang lengkung. Bidang yang akan dibahas disini adalah bidang datar. Bidang biasanya diberi nama dengan huruf kecil dari abjad Yunani seperti α, β, γ, atau δ.

b. Kedudukan Titik terhadap Garis

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis yaitu titik yang terletak pada garis atau titik yang terletak di luar garis.

1. Titik A dikatakan terletak pada garis l jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar garis l jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh garis l atau perpanjangannya.

sumber: partnermatematika.com 

c. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang yaitu titik yang terletak pada bidang atau titik yang terletak di luar bidang.

1. Titik A dikatakan terletak pada bidang α jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

2. Titik A dikatakan terletak di luar bidang α jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α atau perluasannya.

sumber: partnermatematika.com

d. Kedudukan Garis terhadap Garis

Terdapat empat kemungkinan kedudukan antara dua garis di dalam ruang yaitu:

1. Dua garis sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan titik memiliki titik potong atau titik persekutuan.

2. Dua garis berimpit, jika kedua garis tersebut mempunyai paling sedikit dua titik persekutuan.

3. Dua garis berpotongan, jika kedua garis itu mempunyai satu titik potong.

4. Dua garis bersilangan, jika kedua garis tidak terletak pada satu bidang dan kedua garis tidak sejajar ataupun berpotongan.

Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkarannya

Pernyataan atau proposisi adalah suatu kalimat yang hanya bisa bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Kalimat perintah, kalimat Tanya dan kalimat harapan bukan merupakan suatu pernyataan. Umumnya, untuk menyatakan suatu pernyataan digunakan huruf kecil seperti  dan lain-lain.

Contoh 1:

- p : Suatu segitiga memiliki tiga titik sudut (pernyataan bernilai benar)

- q: Makassar adalah ibukota provinsi Sulawesi Utara (pernyataan bernilai salah)

- Semoga nanti saya lulus ujian nasional (bukan pernyataan)

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum bisa langsung ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat ini memuat variabel atau peubah.

Contoh 2:

- x + 5 = 7

Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai kebenarannya. Jika  x = 2 maka kalimat tersebut akan menjadi pernyataan bernilai benar. Adapun jika  x diganti dengan 1 maka akan menjadi pernyataan bernilai salah.

- Jarak antara Bali dan Kota X adalah 50 km.

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran disebut juga penyangkalan. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata “tidak benar” di awal kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan tersebut.

Contoh 3:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Pengertian Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan tersebut  dengan nol pada garis bilangan real. Nilai mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu bernilai positif dan mungkin saja bernilai nol. 

Untuk menunjukkan nilai mutlak dapat digunakan suatu garis bilangan.

Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.

Contoh 1:

Tanda panah pada garis bilangan digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana:

- arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif

- arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif

Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

Contoh 6:

Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Pengertian SPLDV

Persamaan linear dengan dua variabel adalah suatu persamaan yang mengandung dua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel tersebut. Gabungan dari beberapa persamaan linear disebut sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) paling sedikit terdiri atas dua persamaan.

2. Menentukan Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaian SPLDV, diantaranya:

a. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, gambarkanlah kedua PL dalam bidang koordinat Cartesius. Kemudian, tentukanlah titik potong kedua garis tersebut. Perpotongan kedua garis tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus.

b. Metode Substitusi

c. Metode Eliminasi

Untuk menyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi, hilangkanlah salah satu variabel agar diperoleh PL dengan satu variabel. Misalkan eliminasi. 

Untuk menghilangkan (eliminasi) variabel , samakan koefisien  dari kedua pasangan. Kemudian, operasikan kedua persamaan tersebut (jumlahkan atau kurangkan).

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)

Persamaan kuadrat (PK) atau persamaan pangkat dua adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

B. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat                                                           

Terdapat tiga cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat.

1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Agar lebih jelas, simaklah contoh-contoh berikut ini.

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

A. Bentuk Pangkat 

1. Pengertian Bentuk Pangkat 

 

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat 

 

Contoh 1: 

3. Pangkat Bulat Negatif, Nol dan Rasional 

Cara Mencari Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi dengan MATLAB

Dalam analisis lanjutan dari fungsi di kalkulus, suatu fungsi dapat memiliki nilai minimum (minimum value) dan/atau nilai maksimum (maximum value). Nilai-nilai ini biasa juga disebut dengan nilai ekstrim (extreme values) dari fungsi. Kedua nilai ini sering digunakan dalam mencari solusi optimum suatu masalah yang berhubungan dengan optimasi. Sebagai contoh, mencari nilai minimum dari fungsi biaya produksi, menentukan nilai maksimum dari laba, dan lain sebagainya.

MATLAB menyediakan algoritma yang dapat digunakan untuk menentukan nilai minimum suatu fungsi dengan metode numerik atau iteratif. Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi f(x) dalam MATLAB diperlukan sedikit manipulasi fungsi. Hal ini dikarenakan dalam MATLAB tidak tersedia perintah tersebut.  Adapun caranya adalah dengan mengubah fungsi f(x) menjadi g(x) = -f(x). Kemudian mencari nilai minimum dari fungsi g(x).  

MATLAB menyediakan fungsi atau perintah yang disebut optimizers yang khusus dipakai untuk mencari nilai minimum suatu fungsi. Terdapat dua optimizers MATLAB yang populer, yakni:

fminbnd(fun,x₁,x₂): untuk mencari nilai minimum lokal x dari fungsi fun, dimana fun merupakan fungsi satu variabel dan x₁ < x < x_2.

fminsearch (fun,x₀): untuk mencari nilai minimum x dari fungsi fun dimulai dari titik tebakan awal (initial points) x₀. Perintah ini digunakan untuk meminimumkan fungsi dengan lebih dari satu variabel atau multivariabel. 

Perhatikanlah contoh-contohnya berikut ini.

Baca juga: Interpolasi pada MATLAB

Contoh 1

Misalkan kita ingin mencari nilai minimum dari fungsi cosinus dalam rentang/interval 0 < x < 2pi. Masalah ini merupakan contoh dari meminimumkan fungsi satu variabel dengan menggunakan fminbnd. 

Ketiklah perintah berikut ini pada command window MATLAB.

>> x=fminbnd('cos',0,2*pi)

x =

    3.1416

>> rad2deg(x)%mengubah radian ke derajat

ans =

   180

>> [x,fval]=fminbnd('cos',0,2*pi)

x =

    3.1416

fval =

    -1

Hasil di atas menunjukkan bahwa nilai minimum fungsi cosinus dalam rentang/interval  0 < x < 2pi terjadi pada titik x = 3,1416 dengan nilai fungsi fval (objective function value)  = -1.

Contoh 2

Menentukan nilai minimum dari fungsi  dalam rentang/interval .

>> x=fminbnd(@(x)(1/3)*x^3+2*x^2-3*x+7,-10,10)

x =

   0.6458

  

Apabila ingin dicari nilai maksimum fungsi  dalam rentang/interval , kita tinggal menambahkan tanda negatif “ – “ di depan fungsi.

>> x=fminbnd(@(x)-((1/3)*x^3+2*x^2-3*x+7),-10,10)

x =

   -4.6457

Kita juga dapat memantau nilai-nilai dalam proses pencarian nilai minimum/maksimum fungsi dengan menggunakan perintah optimset seperti di bawah ini.

options = optimset('Display','iter');

[x,fval]=fminbnd(@(x)(1/3)*x^3+2*x^2-3*x+7,-10,10,options)

Tampilan hasil keluaran program di atas adalah sebagai berikut:

Func-count     x          f(x)         Procedure

    1       -2.36068      20.8425        initial

    2        2.36068      15.4488        golden

    3        5.27864      95.9203        golden

    4       0.151933      6.59154        parabolic

    5       0.278546      6.32674        parabolic

    6       0.572083      6.00072        parabolic

    7        1.25527      7.04489        golden

    8       0.663228       5.9873        parabolic

    9       0.647039       5.9865        parabolic

   10       0.645665      5.98649        parabolic

   11       0.645753      5.98649        parabolic

   12       0.645719      5.98649        parabolic

   13       0.645786      5.98649        parabolic

Optimization terminated: the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-04

x =

    0.6458

fval =

    5.9865

Baca juga: Fungsi Statistika pada MATLAB

Pencocokan Kurva (Curve-Fitting) dengan MATLAB

Halo sobat semua. Dalam tulisan kali ini saya ingin berbagi tentang metode pencocokan kurva dengan menggunakan MATLAB. Yuk, simak uraiannya berikut ini. 

Pencocokan kurva (curve-fitting) merupakan suatu proses pencocokan (fitting) data ke dalam suatu fungsi suku banyak atau polinomial. Kurva yang terbentuk dapat berubah hasil dari fungsi linear (garis lurus), kuadrat, eksponensial, suku banyak/polinomial pangkat tiga, empat dan lain sebagainya. Dalam proses pencocokan kurva biasanya error atau kesalahan dihitung dengan metode kuadrat terkecil (least squares method).

MATLAB menyediakan perintah yang dapat kita gunakan untuk mencocokkan sekumpulan data dengan kurva tertentu. Dengan menggunakan perintah polyfit, MATLAB akan menampilkan koefisien dari suatu polinom yang tepat untuk data yang diberikan.

polyfit(x,y,n): menentukan koefisien polinomial berderajat n yang cocok dengan y.

Baca juga: Interpolasi pada MATLAB

Contoh 1

Diketahui data berikut:

x	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
y	27.53	52.43	75.63	102.67	125.34	150.33	177.4	202.34	228.56	253.7

Misalkan kita menduga data tersebut cocok digambarkan dengan fungsi linear, maka pada MATLAB dituliskan:

x=[10   20  30  40  50  60  70  80  90  100];

y=[22.53 49.43 75.63   95.67   100.34  150.33  177.4   189.34  228.56  233.7];

p=polyfit(x,y,1)

MATLAB akan menampilkan hasil berikut:

p =

    2.4353    -1.6460

Artinya bahwa data di atas dapat dinyatakan dengan fungsi:

Sekarang, mari kita coba lihat hasilnya:

x=[10   20  30  40  50  60  70  80  90  100];

y=[22.53 49.43 75.63   95.67   100.34  150.33  177.4 189.34  228.56  233.7];

p=polyfit(x,y,1)

y1=polyval(p,x);

plot(x,y,'*')

hold on

plot(x,y1)

Pencocokan kurva dengan fungsi linear

Contoh 2

Dari suatu penelitian diperoleh data berikut:

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	0.93	2.1	8.5	15.5	24.3	28.7	42.2	50	80.2	90.3

Selanjutnya data tersebut akan dicocokkan dengan polinomial tertentu.

Misalkan dengan mengamati data sekilas, kita menduga bahwa fungsi yang cocok mewakili data tersebut adalah fungsi kuadrat. Pada MATLAB kita tuliskan.

x=[1    2   3   4   5   6   7   8   9   10];

y=[0.93 2.1 8.5 15.5 24.3 28.7  42.2 50  80.2 90.3];

>> p=polyfit(x,y,2)

p =

    1.0166   -1.2247    1.8703

Artinya bahwa data di atas dapat dinyatakan dengan fungsi:

Sekarang, mari kita coba lihat hasilnya:

x=[1  2   3   4   5   6   7   8   9   10];

y=[0.93 2.1 8.5 15.5 24.3 28.7  42.2 50  80.2 90.3];

p=polyfit(x,y,5);

y1=polyval(p,x);

plot(x,y,'o')

hold on

plot(x,y1)

Pencocokan kurva dengan fungsi kuadrat

Baca juga: Fungsi Statistika pada MATLAB